Хотtelлинг на графе
Улицы города $M$ имеют минималистичную структуру, изображённую на рисунке:
Числами подписаны длины соответствующих улиц. Жители города равномерно расселены по улицам. Каждый из жителей хочет приобрести ровно единицу товара $X$. Товар $X$ могут продавать $n$ фирм. Цена на товар давно зафиксирована в строгом городском законодательстве и устраивает каждую из фирм. Поэтому, любая фирма максимизирует количество проданного товара $X$. Фирмы одновременно и независимо выбирают местоположения своих торговых точек в городе, после чего жители покупают товар $X$. Фирмы могут размещать сколько угодно торговых точек в одном месте. Каждый из жителей покупает товар в ближайшей к нему торговой точке. Если нескольким жителям безразлично между несколькими торговыми точками, считайте, что они делятся между ними поровну. Каждая из фирм открывает ровно одну торговую точку.
- Равновесием называется ситуация, в которой ни одной из фирм не выгодно изменить местоположение своей торговой точки при фиксированных местоположениях точек других фирм.*
- а)
Допустим, $n=2$. Верно ли, что ситуация, в которой несколько торговых точек стоят в одном месте, не является равновесием?
- б)
Допустим, $n=2$. Верно ли, что ситуация, в которой несколько торговых точек фирм стоят на одной улице, не является равновесием?
- в)
Допустим, $n=2$. Найдите все равновесия или докажите, что их не существует.
- г)
Допустим, $n=3$. Верно ли, что ситуация, в которой несколько торговых точек стоят в одном месте, не является равновесием?
- д)
Допустим, $n=3$. Верно ли, что ситуация, в которой несколько торговых точек стоят на одной улице, не является равновесием?