Обмен огурцами

В стране «Центробежная Сила Камбоджи» есть два персонажа — Первый и Второй. Оба персонажа питаются исключительно огурцами первого и второго вида. Полезности обоих персонажей выглядят так: $U_i=X_i*Y_i$, где $X$ - первый огурец, $Y$ - второй. У Первого есть $100$ огурцов первого типа и ноль второго, а у Второго было ноль первого и $100$ второго.

(а) Пусть персонажи взаимодействуют по Курно (то есть, первый и второй одновременно решают сколько огурцов будут предлагать на рынок). Найдите равновесие и цену огурца первого типа, относительно второго.

Теперь в Центробежной Силе к власти пришел злой диктатор Лоп Топ, который отнял у всех огурцы и раздал Первому $80$ огурцов первого типа, $20$ второго, а второму наоборот — $80$ второго, $20$ первого.

(б) Найдите равновесие и цену, если они взаимодействуют как и в пункте (а).

Лоп Топ был отличным правителем, но вот незадача — на страну напали враги-оппортунисты из Северного Вьетнама и стране нужно было защищаться. Тогда Лоп Топ решил заручится поддержкой Первым огурцевистом и поменял их стратегию взаимодействия: Теперь сначала Первый первым выбирают цену первого огурца во вторых, потом Второй воспринимает цену как заданную и меняет столько огурцов, сколько ему нужно.

(в) Найдите равновесие и цену первого огурца во вторых.

Не сложно догадаться, что подобная оборонная тактика сработала безуспешно. Страну захватили, персонажи разложились на плесень и на липовый мед, а на их место прибыло $100$ вьетнамцев. У вьетнамца под номером $i$ полезность $U_i=X^{101-i}*Y^i$. У каждого вьетнамца есть по $2$ огурца, $1$ первого типа, $1$ второго (отнятые у персонажей). Пусть каждый воспринимает цену как заданную.

(г) Найдите сложившуюся на рынке цену.