Задача: Альтернативные издержки и КПВ

Мясная страна представляет собой конфедерацию, состоящую из $N$ независимых друг от друга регионов, жители которых потребляют два товара – хлеб $(x)$ и мясо $(y)$.

Агрегированная полезность жителей от потребления данных товаров в каждом регионе задается следующей функцией:

$U_i(x_i, y_i) = \ln(x_i) + \ln(y_i)$

Но производственные возможности в каждом регионе отличаются. Они задаются следующим образом:

Номер региона — его кривая производственных возможностей

$1$. $x_1 + y_1 = 1$

$2$. $2x_2 + y_2 = 2$

$3$. $3x_3 + y_3 = 3$

$4$. $4x_4 + y_4 = 4$

....

$N$. $Nx_N + y_N = N$

Пусть $P = \frac{P_x}{P_y}$. Найдите равновесную цену $P^*(N)$ которая установится в ходе свободной торговли между регионами. Считайте, что в равновесной ситуации каждый из регионов продает на рынке только один из товаров (если какому-то региону безразлично продавать при установившейся цене $x$, то он не продает его), а также то, что всегда найдется такое число регионов $(N)$, которое удовлетворяет данному условию.