Я без кофе жить не могу
Все студенты, по мнению Антона, любят лавандовый раф на кокосовом молоке в «Груше» на Покровке. Но не все студенты — истинные гурманы, поэтому у каждого из их есть «уровень гурманства», выраженный параметром $\theta \geq 0$. При этом в центре Москвы настолько много кофеен, которые продают кофе, что их аж $n$ на весь центр Москвы. Известно, что полезность потребления кофе в $i$ -й кофейне, где $i$ — целое число от $1$ до $n$, составляет $U_i=A_i+b_i\theta$, где $\theta$ — уровень гурманства конкретного студента и $b_i$ — некоторые положительные параметры, а $i$ — номер конкретной кофейни. При этом цены на кофе в каждой кофейне фиксированы и поэтому уже учтены в значении параметра $A_i$ i, а каждый студент максимизирует свою полезность.
Пример: Если $n=2$, а $A_1=2$, $A_2=3$ и $b_1=2$, $b_2=1$, то студент с уровнем гурманства $\theta=10$ от посещения первой кофейни получит полезность равную $U_1=2+2*10=22$, а от второй — $U_2=3+1*10=13$. Следовательно, в таком случае студент выберет первую кофейню.
- а)
Допустим, что $n=2$ и $A_1>A_2$ и $b_2>b_1$, так как чем выше номер кофейни, тем выше там цена, поэтому и меньше $A$ и выше качество кофе, следовательно, важнее для гурмана, поэтому больше $b$. Определите, студенты с каким уровнем гурманства будут покупать кофе в первой кофейне, а с каким — во второй.
- б)
Представим теперь, что количество кофеен все же $n$, но теперь известно, что $A_i-A_{i-1}=-k$ и $b_i-b_{i-1}= m$ для любого допустимого $i$, где $k$ и $m$ — некоторые положительные параметры. То есть по-прежнему, чем выше номер кофейни, тем дороже там кофе и, следовательно, меньше $A$, и лучше кофе, следовательно, выше $b$, но теперь они отличаются на одно и то же число. Для каждой кофейни найдите, потребители с каким уровнем гурманства будут покупать кофе в ней.
- в)
Верно ли то, что если $A_i<A_{i-1}$ и $b_i>b_{i-1}$ для любого допустимого $i$, то есть $A_1>A_2>...>A_n$ и $b_n>b_{n-1}>...>b_1$, то для любой кофейни найдется потребитель с таким уровнем гурманства, что он будет покупать только в ней? Если да, то докажите, если нет, то приведите пример.