Монополия с выбором качества

Как известно, регулирование цены монополиста может увеличить общественное благосостояние. Однако низкая цена может снижать стимулы фирмы к производству качественного товара. В этих условиях оптимальная для регулятора цена может быть не такой, как в простейшей модели.

Рассмотрим фирму-монополиста, спрос на продукцию которой описывается уравнением $Q = \alpha(48 - 2P)$, где $\alpha \in [0;\, 6]$ — качество товара. Если при цене $P$ спрос удовлетворяется полностью, при данной функции спроса излишек потребителя равен $\alpha(24 - P)^2$. Издержки производства задаются уравнением $TC(Q) = 4\alpha Q$. Если фирма безразлична между несколькими оптимальными объемами производства, она выбирает наибольший из них.

а) Докажите, что в отсутствие регулирования оптимальное для монополиста качество товара равно $\alpha^* = 2$ (для этого необязательно использовать производную, но можно и использовать).

б) Допустим, государство устанавливает директивно цену $p$ так, чтобы максимизировать общественное благосостояние, то есть сумму излишка потребителя и прибыли фирмы. При этом государство может следить за тем, чтобы монополист не менял качество товара по сравнению с пунктом а). Объем производства фирма выбирает сама. Найдите оптимальную для государства цену.

в) Допустим, государство не может контролировать качество товара; оно назначает цену, а затем монополист выбирает уровень качества и объем производства. Найдите цену, которую государство должно установить для максимизации общественного благосостояния.