Иерархия стимулов в стартапе
В IT-стартапе есть три уровня принятия решений:
1. Главный инвестор, который выбирает параметр $\theta\in[0,1]$ — долю выручки проекта, которая будет выплачиваться техническому директору в виде бонуса (остальная часть остаётся инвестору). Назначая долю $\theta$, инвестор несёт административные расходы $\kappa\theta^2$, $\kappa>0$.
2. Технический директор выбирает уровень организационных усилий $e_c\geq0$. Его собственные издержки на осуществление такого уровня усилий равны $\frac{1}{4}e_c^4$.
3. Разработчики выбирают свой уровень усилий $e_e\ge0$. Издержки разработчиков: $e_e^2$.
Производительность проекта, которая напрямую конвертируется в выручку, зависит от организационных усилий и усилий разработчиков: $R(e_c,e_e)=e_c e_e$. Взаимодействие устроено следующим образом: сначала инвестор выбирает $\theta$, максимизируя свою часть выручки за вычетом издержек $(1-\theta)R(e_c,e_e)-\kappa\theta^2$; потом технический директор выбирает $e_c$, максимизируя $\theta R(e_c,e_e)-\frac{1}{4}e_c^4$; наконец, разработчики выбирают свой уровень усилий, максимизируя $R(e_c,e_e)-e_e^2$. На каждом уровне агенты знают параметры, которые были выбраны до них.
1. Главный инвестор, который выбирает параметр $\theta\in[0,1]$ — долю выручки проекта, которая будет выплачиваться техническому директору в виде бонуса (остальная часть остаётся инвестору). Назначая долю $\theta$, инвестор несёт административные расходы $\kappa\theta^2$, $\kappa>0$.
2. Технический директор выбирает уровень организационных усилий $e_c\geq0$. Его собственные издержки на осуществление такого уровня усилий равны $\frac{1}{4}e_c^4$.
3. Разработчики выбирают свой уровень усилий $e_e\ge0$. Издержки разработчиков: $e_e^2$.
Производительность проекта, которая напрямую конвертируется в выручку, зависит от организационных усилий и усилий разработчиков: $R(e_c,e_e)=e_c e_e$. Взаимодействие устроено следующим образом: сначала инвестор выбирает $\theta$, максимизируя свою часть выручки за вычетом издержек $(1-\theta)R(e_c,e_e)-\kappa\theta^2$; потом технический директор выбирает $e_c$, максимизируя $\theta R(e_c,e_e)-\frac{1}{4}e_c^4$; наконец, разработчики выбирают свой уровень усилий, максимизируя $R(e_c,e_e)-e_e^2$. На каждом уровне агенты знают параметры, которые были выбраны до них.
- а)Найдите $e_c, e_e, \theta$, которые будут установлены в ходе такого взаимодействия.
- б)Как найденные вами в прошлом пункте параметры зависят от $\kappa$? Проинтерпретируйте полученные зависимости. Почему $e_c, e_e$ тоже зависят от $\kappa$, хотя этот параметр влияет только на решение инвестора?
- в)Пусть теперь $\kappa=\frac{1}{2}$, а за хорошую производительность проекта, т.е. превышение некоторого порогового значения $R(e_c,e_e)\geq\frac{1}{2}$, директор дополнительно получает бонус $w=\frac{1}{9}$ помимо своей доли выручки $\theta R(e_c,e_e)$. Найдите новые равновесные $e_c, e_e, \theta$.
- г)Сравните сумму, которую заплатили директору, и сумму, которую получил инвестор, в пунктах (а) и (в). Проинтерпретируйте полученные результаты.