Учитель и ученики
Рассмотрим модель взаимодействия учителя и учеников в обычном классе средней общеобразовательной школы. Для учеников пусть существуют следующие характеристики: усилия $e_s$ и результаты $r_s = e_s - \frac{e_s^{2}}{e_t}$ (успеваемость); для учителя: зарплата $w$, усилия $e_t$ и полезность $U_t = w \cdot r_s - e_t^{2}$. Зарплата является экзогенной величиной, которую устанавливает администрация школы. Каждый из агентов выбирает свой уровень усилий, максимизируя при этом либо результат (ученики), либо полезность (учитель). Порядок действий следующий:
- администрацией назначается некий уровень зарплаты для учителя;
- учитель выбирает уровень усилий;
- ученики выбирают уровень усилий.
Учитель и ученики знакомы давно, а потому знают, какую целевую функцию максимизирует каждый из них.
- (а) Найдите равновесные уровни усилий для учителя и учеников.
- (б) Пусть теперь администрация выбирает уровень зарплаты учителя, исходя из максимизации собственной полезности $U_a = r_s + U_t - \frac{w^{2}}{32}$. Чему равны равновесные уровни зарплаты и усилий?
- (в) Вернёмся снова к первому пункту. Пусть теперь учителя вообще не интересуют результаты учеников: $U_t = \frac{w}{64} - e_t^{2}$, однако, если учитель будет прикладывать усилия меньше чем $1/16$, то его уволят, и он не будет получать зарплату. Найдите равновесные уровни усилий и результаты учеников в данном случае. Определите, при каком уровне зарплаты учителю всё равно, учитывать или нет результаты учеников.