Феодал и Крестьянин
В некоторой стране есть два экономических агента — Феодал и Крестьянин. Урожай крестьянина ($Y$) зависит как от его усилий ($e$), так и от природных факторов ($Z$, где $0 < Z < 1$): $Y = e + Z$. Жизнь Крестьянина нелегка. Во-первых, труд его тяжёл: свои издержки на уровень усилий $e$ Крестьянин оценивает в $e^2/2$ единиц урожая. Во-вторых, Феодал изымает у Крестьянина в виде оброка долю $t$ урожая, причём эту ставку Феодал устанавливает так, чтобы максимизировать физический объём урожая, который он получит. Крестьянин же максимизирует количество остающегося у него урожая за вычетом издержек на усилия, то есть величину $U = (1-t)Y - e^2/2$. Более детально процесс взаимодействия Феодала и Крестьянина во времени выглядит так:
- I. Оба узнают значение $Z$;
- II. Феодал назначает ставку оброка $t$;
- III. Зная ставку оброка, Крестьянин выбирает уровень усилий $e$;
- IV. Крестьянин трудится, прилагая выбранный уровень усилий $e$, и долю $t$ урожая отдаёт Феодалу.
Оба агента «сотрудничают» давно и знают, какую именно целевую функцию максимизирует каждый из них.
- а)
Найдите выбираемую Феодалом ставку оброка $t^*$ и выбираемый Крестьянином уровень усилий $e^*$ как функции от природных условий $Z$. Возрастают или убывают функции $t^*(Z)$ и $e^*(Z)$? Поясните интуитивно.
- б)
Верно ли, что чем благоприятнее природные условия, тем крестьянину будет лучше? Если Ваш ответ «нет», то из-за чего возникает такой «парадоксальный» результат? Кроме того, если Ваш ответ «нет», найдите значение $Z$, при котором $U$ максимально.