Учитель и ученики
Рассмотрим модель взаимодействия учителя и учеников в обычном классе средней общеобразовательной школы. Для учеников пусть существуют следующие характеристики: усилия $e_s$ и результаты $r_s=e_s-\frac{e_s^2}{e_t}$ (успеваемость); для учителя: зарплата $w$, усилия $e_t$ и полезность $U_t=w\cdot r_s-e_t^2$. Зарплата является экзогенной величиной, которую устанавливает администрация школы. Каждый из агентов выбирает свой уровень усилий, максимизируя при этом либо результат (ученики), либо полезность (учитель). Порядок действий следующий: администрацией назначается некий уровень зарплаты для учителя; учитель выбирает уровень усилий; ученики выбирают уровень усилий. Учитель и ученики знакомы давно, а потому знают, какую целевую функцию максимизирует каждый из них.
- а)Найдите равновесные уровни усилий для учителя и учеников.
- б)Пусть теперь администрация выбирает уровень зарплаты учителя, исходя из максимизации собственной полезности $U_a=r_s+U_t-w^2/32$ . Чему равны равновесные уровни зарплаты и усилий?
- в)Вернемся снова к первому пункту. Пусть теперь учителя вообще не интересуют результаты учеников: $U_t=w/64-e_t^2$, однако, если учитель будет прикладывать усилия меньше чем 1/16, то его уволят, и он не будет получать зарплату. Найдите равновесные уровни усилий и результаты учеников в данном случае. Определите, при каком уровне зарплаты учителю все равно, учитывать или нет результаты учеников.