Стимулирование менеджера долей выручки
Владелец фирмы-монополии нанял менеджера по маркетингу. Менеджер может приложить усилия для продвижения товара на рынке. Чем выше этот уровень усилий $e$, тем выше спрос на продукцию фирмы: $q = \sqrt{e} - p$, где $p$ — цена товара, $q$ — его количество. Приложение уровня усилий в объеме $e$ сопряжено с издержками в размере $e^2$ для менеджера. Владелец фирмы хотел бы стимулировать менеджера прилагать усилия, и поэтому зарплата менеджера равна доле выручки фирмы: $w = b \cdot TR$, где $0 < b < 1$, $TR$ — выручка монополии, $w$ — зарплата менеджера.
Взаимодействие владельца фирмы и менеджера устроено так, что сначала владелец выбирает $b$, а затем менеджер выбирает $e$ и $q$, воспринимая $b$ как заданный параметр. Владелец фирмы максимизирует выручку фирмы за вычетом расходов на зарплату менеджера (других издержек у фирмы нет). Менеджер максимизирует свою зарплату за вычетом издержек на усилия.
- а)
(5 баллов) Найдите оптимальное для менеджера значение $q^*$ при произвольно выбранных значениях $b$ и $e$, удовлетворяющих условию. Оно может зависеть от $b$, $e$ или обеих переменных сразу.
- б)
(8 баллов) Найдите оптимальные для менеджера значения $e^*$ и $q^*$ в зависимости от $b$.
- в)
(7 баллов) Найдите оптимальное для владельца значение $b^*$, а также значения $e^*$ и $q^*$, которые выберет менеджер при $b = b^*$.