Обмен в ящике Эджуорта
На осеннюю ярмарку приехали два садовода — Алиса и Борис. У Алисы с собой $8$ корзин яблок ($x$) и $2$ корзины груш ($y$), а у Бориса – наоборот, $2$ корзины яблок и $8$ корзин груш. Оба садовода одинаково ценят фрукты, и их предпочтения описываются одной и той же функцией полезности $U(x,y)=x\,y$.
- а)
Найдите полезности Алисы и Бориса при их изначальных запасах. Изобразите начальное распределение в ящике Эджуорта. Является ли оно эффективным по Парето, то есть можно ли улучшить положение хотя бы одного садовода, не ухудшив положение другого? Ответ обоснуйте.
- б)
Пусть теперь садоводы могут свободно обмениваться фруктами по единой рыночной цене, которую все воспринимают как заданную. Цену груш примем равной $1$, а цену яблок — $p$. Найдите равновесие: равновесную цену $p$, итоговые наборы каждого садовода и их полезности. Можно ли теперь улучшить положение одного из них, не ухудшив положение другого? Покажите равновесие на том же ящике Эджуорта.
- в)
Пусть всё решает благожелательный планировщик «сверху», который вправе как угодно перераспределить фрукты между садоводами. Найдите множество всех эффективных по Парето распределений и изобразите его в ящике Эджуорта. В какой точке этого множества оказывается равновесие из пункта (б)?