Обмен на острове
Боб (агент $1$ ) и Джон (агент $2$ ) очутились на необитаемом острове. Ребятам приходится питаться рыбой$(x)$ и кокосами$(y)$, которыми Боб владеет в размере $(x_1, y_1)=(5, 10)$, а Джон — в размере $(x_2, y_2)=(10,5)$.
Известно, что предпочтения в потреблении рыбы и кокосов описываются функциями полезности: $U_1=x_1+y_1$ и $U_2=x_2*y_2$ для Боба и Джона соответственно.
a) Вечером ребята встретились у костра и, поразмышляв, решили перераспределить съестное между собой. Назовем распределение кокосов и рыбы неэффективным, если ребята могут перераспределить продукты таким образом, что никому не станет хуже и хотя бы одному из них станет лучше. В противном случае будем называть распределение между ребятами эффективным. Является ли распределение суммарного запаса продуктов $\{(x_1, y_1) = (9, 6), (x_2, y_2) = (6, 9)\}$ эффективным? А распределение $\{(x_1, y_1) = (6, 9), (x_2, y_2) = (9, 6)\}$ ?
- б)
Назовем $M$ множество всех распределений съестного, удовлетворяющих критерию эффективности. Определите множество $M$.
- в)
Джон предложил распределить съестное таким образом, чтобы суммарное благосостояние $U=U_1+U_2$ было максимальным. Если Боб согласится на такое распределение, то сколько рыбы и кокосов он получит?
- г)
Боб, поразмышляв некоторое время, предложил так распределить блага, чтобы величина $U = \min[U_1, U_2]$ была максимальной. Если Джон согласиться на такое распределение, то сколько рыбы и кокосов он получит?