Модернизация кирпичного завода
Иван Иванович на маленьком кирпичном заводике производит кирпичи.
Производственная функция фирмы имеет вид
$$
Q=\max\{KL-L,0\},
$$
где $Q$ — количество произведённых кирпичей, $K$ — объём
капитала, $L$ — объём труда. Труд и капитал приобретаются на
совершенно конкурентных рынках по ценам
$$
P_K=1,\qquad P_L=1.
$$
На рынке кирпичей фирма является монополистом. Функция спроса имеет
вид
$$
Q=\frac{a^2}{(P+1)^2},
$$
где $a>0$ — параметр, $P$ — цена товара. Фирма знает функцию
спроса и максимизирует прибыль.
- 1)
Выведите функцию издержек фирмы $TC(Q)$.
- 2)
Найдите оптимальный объём производства $Q^*(a)$ при каждом
значении параметра $a$. - 3)
Фирме предлагают модернизировать завод за $S$ денежных единиц.
После модернизации производственная функция будет иметь вид
$$ Q=2\sqrt{KL}. $$
Для каждого значения $a$ определите, выгодна ли фирме бесплатная
модернизация. Если модернизация выгодна, найдите максимальную сумму,
которую фирма готова за неё заплатить. Если фирма не согласится
модернизироваться даже при $S=0$, укажите это. Проиллюстрируйте
графически прирост максимальной прибыли фирмы от модернизации.