Хотеллинг в линейном городе

количественная развёрнутая задача целочисленность или дискретный выбор SolveHub – банк задач по экономике

Город Волгоград имеет очень необычную планировку. Он растянулся на $60$ километров с севера на юг вдоль правого берега Волги. Ширина города не превышает $10$ километров, а в самых узких местах город можно за несколько минут пройти пешком поперек. Вот он, настоящий линейный город! Для удобства обозначений будем считать самую северную точку Волгограда $0$ -ым километром, а самую южную – $60$ -ым.

Волгоградская область славится своим мягким козьим пухом из Урюпинска. Какая досада, что в этом городе нет ни одного специализированного магазина, продающего исключительно мягкий козий пух из Урюпинска. В городе планируется открыть $2$ таких магазина.

Продукция этих магазинов пользовалась бы спросом. Известно, что спрос на неё распределен равномерно вдоль реки Волга, то есть если, к примеру, в магазин станут ходить потенциальные покупатели, живущие в районе города с $0$ -ого по $12$ -ый километр, то это означает, что магазин удовлетворяет $20\%$ спроса. Также известно, что пух из Урюпинска настолько качественный, что покупатели готовы и все $60$ километров преодолеть, чтобы его заполучить, однако из двух магазинов они выберут ближайший. Если покупателям, проживающим по одному и тому же адресу, безразлично, в какой магазин идти, то одна половина из них пойдет в один магазин, а другая половина – в другой магазин.

Как нужно расположить магазины с точки зрения минимизации максимального расстояния, которое покупателю придется преодолеть на пути от дома до магазина? Дайте аргументированный ответ, выраженный в километрах от самой северной точки города.

Предположим теперь, что магазины принадлежат разным продавцам, конкурирующим за покупателей друг с другом. Цена на пух определяется поставщиком и не зависит от местоположения магазина.

Где разместит магазин первый владелец, если он точно знает, где расположен магазин второго владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений второго магазина.
Где разместит магазин второй владелец, если он точно знает, где расположен магазин первого владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений первого магазина.
Есть ли такое расположение магазинов, при котором каждому владельцу в отдельности не выгодно менять расположение своего магазина?
Эффективно ли такое расположение с точки зрения планировки города? Аргументируйте свой ответ.