Зависимость или вредная привычка?

# Осторожно! Логарифмы!

Иван Петрович любит водку и пельмени. Каждый день его счастье можно посчитать по формуле $u_t=ln(x_t-\alpha H_t)+y_t$, где $x$ — потребление водки в стопках, $y$ — пельмени в килограммах, а $H$ — похмелье в единицах печали («Всему есть единицы измерения, за исключением печали и тоски (с)»), $0<\alpha<1$ - параметр. Пельмени продаются по цене $1$ за килограмм, водка — по цене $p$ за стопку. Похмелье меняется во времени по следующему закону: $H_t=x_{t-1}+(1-\delta)H_{t-1}$, где $\alpha < \delta < 1$ - параметр. Иван Петрович – человек простой и не задумывается о том, что лишняя стопка водки сегодня скажется на его похмелье завтра (и в более далеком будущем). Он принимает решения, максимизируя только текущую полезность.

1. Проинтерпретируйте закон изменения похмелья: почему разумно считать, что оно меняется так?

2. Проинтерпретируйте функцию полезности. Как предельная полезность водки зависит от похмелья? Как от похмелья зависит общая полезность?

3. Найдите выбор Ивана Петровича в течение дня в зависимости от его дохода, цены водки и похмелья (считая похмелье константой). Как полезность Ивана Петровича зависит от этих параметров?

4. Учитывая закон динамики похмелья, к какому уровню стремится потребление водки со временем? От чего он зависит?

5. Иван Петрович вступил в группу анонимных алкоголиков и теперь понимает, как потребление водки влияет на похмелье. Он даже посчитал, к какому уровню будет стремиться похмелье, если он будет выпивать по $x$ стопок в день каждый день. Теперь прежде чем выпить очередную стопку, Иван Петрович подставляет это значение в свою функцию полезности вместо $H$. Как изменится его потребление водки? Как оно зависит от параметров?