Хлеб и зрелища

Из школьного курса обществознания вам может быть знакома теория потребностей человека, известная как пирамида Маслоу. Ее основополагающий принцип в том, что пока не удовлетворены потребности низкого уровня, индивид не стремится удовлетворять потребности более высокого уровня. В большинстве экономических моделей этот принцип игнорируется, но не в этой задаче.

Харитон потребляет два блага — Хлеб ($X$) и Зрелища ($Y$). Если он потребляет меньше 10 единиц какого-то из этих благ, то его потребность в этом благе считается неудовлетворенной. Пока потребление Хлеба меньше 10, каждая дополнительная единица Хлеба приносит Харитону 2 единицы полезности, а после достижения этого уровня, то есть после того, как потребность удовлетворена, — только 1 единицу полезности. В пирамиде потребностей Харитона потребность в Хлебе занимает первую ступень, а потребность в Зрелищах — вторую: если потребность в Хлебе не удовлетворена, полезность от потребления Зрелищ равна 0. Если же потребление Хлеба не меньше 10 единиц, полезность от потребления Зрелищ устроена так же, как и полезность Хлеба: до достижения количества 10 каждая единица Зрелищ приносит 2 единицы полезности, а после — только 1 единицу полезности.

Доход Харитона равен 300, он максимизирует суммарную полезность.

а) Допустим, цена единицы Хлеба ($p_x$) равна 10, а цена единицы Зрелищ ($p_y$) равна 15. Найдите оптимальные для Харитона объемы потребления Хлеба и Зрелищ, $x^*$ и $y^*$.

б) При каких (неотрицательных) ценах $p_x$, $p_y$ потребность Харитона в Зрелищах будет в оптимуме удовлетворяться, то есть $y^* \geq 10$? Изобразите на плоскости множество таких пар цен.

в) Добавим на вершину пирамиды третье благо — Книги ($Z$). Полезность от чтения Книг равна нулю, если потребность в Хлебе или Зрелищах не удовлетворена. Если же обе эти потребности удовлетворены, каждая единица Книг приносит Харитону 2 единицы полезности независимо от количества Книг. Цена Книг $p_z$ равна 4. Ответьте на вопросы пункта б).