Издержки и перевозка сырья

Некоторая фирма является единственным производителем товара (количество которого мы будем обозначать как $Q$ ), для производства которого использует сырье собственного производства: сырье первого типа (количество которого мы обозначим за $x$ ) и сырье второго типа (количество которого мы обозначим за $y$ ). Все сырье фирма производит в регионе $A$, а затем транспортирует его в регион $B$, где без дополнительных затрат собирает готовый товар, для изготовления каждой единицы которого необходимы одна единица сырья первого типа и одна единица сырья второго типа. (Иначе говоря, ее производственная функция имеет вид $Q=min(x;y)$ ).

В регионе $A$ фирма может производить сырье двумя способами. По первому способу производства при производстве $x$ единиц сырья первого типа и $y$ единиц сырья второго типа фирма тратит $C=x+y+2\sqrt y$ условных единиц. Второй способ производства дает возможность производить сырье комплектами $(K)$ из $1$ единицы сырья первого типа и $3$ единиц сырья второго типа, при этом издержки производства $K$ комплектов составляют $C(K)=4K$ условных единиц. Фирма может производить любое количество сырья, используя как одну из технологий, так и обе.

Перевозку сырья из региона $A$ в регион $B$ фирма может осуществлять кораблями и поездами. Один корабль вмещает не более $4$ единиц второго сырья или не более одной единицы первого сырья или любую линейную комбинацию сырья обоих видов (например, не более $3$ единиц второго сырья и $0,25$ единиц первого). Стоимость аренды одного корабля равна $10$ условным единицам. Фирма может арендовать как весь корабль, так и любую его часть, заплатив за аренду части корабля сумму пропорциональную его загрузке (например, если фирма арендует половину корабля, заплатив $5$ условных единиц, она сможет перевезти на нем не более $2$ единиц второго сырья или не более $0,5$ единиц первого или любую линейную комбинацию сырья обоих видов аналогично примеру, приведенному выше). Стоимость аренды поезда равна также $10$ условных единицам, один поезд вмещает не более $4$ единиц первого сырья или не более $1$ единицы второго сырья или любую линейную комбинацию сырья обоих видов. Арендовать можно любую долю поезда, тогда его вместимость уменьшится пропорционально изменению арендной платы.

1. Запишите функцию издержек фирмы $TC(Q)$, то есть покажите, сколько условных единиц необходимо минимально потратить фирме для изготовления $Q$ единиц готового товара.

2. Функция спроса на готовую продукцию фирмы в регионе $B$ задается функцией

$P_d=23-Q$, где $P_d$ - цена единицы товара в условных единицах. Какое количество

товара продаст фирма, если она максимизирует прибыль? Сколько при этом сырья каждого типа она произведет и сколько денежных единиц потратит на перевозку?

1. Оказалось, что поездами и кораблями владеет одна фирма. Стоимость аренды корабля в силу некоторых причин она не может изменить, однако может назначить другую цену за аренду поезда. Какую цену назначит фирма-перевозчик, если она максимизирует выручку, получаемую за перевозку сырья из региона $A$ в регион $B$ ?