Question 185. А говорили не резиновая
Некий монополист Артемий решил сам себе построить город Апскву, жители которого потом будут покупать его электросамокаты. После постройки монополист равномерно распределит людей по плоскости города (на каждом $\text{км}^2$ одинаковое количество людей). Город может быть совершенно любой формы, однако за постройку $n$ $\text{км}^2$ придется заплатить государству $t$ фуфырфиков за $\text{км}^2$. Полезность одного потребителя от покупки электросамоката имеет вид
$U=30-P-S/2-S$ $U=30-P-s/2-s$
где $P$ — цена покупки, а $s$ — расстояние от человека до магазина, причем $s/2$ –издержки на дорогу обратно, а $s$ – издержки на дорогу туда (без самоката, поэтому грустно). Если потребитель не покупает самокат, то его полезность равна $0$. Причем, несмотря на равномерное распределение людей по площади, все люди индивидуальны, а поэтому Артемий знает цену, которую готов заплатить каждый пришедший человек и может назначать всем разные цены, а каждый человек знает, какую цену поставит им Артемий, но все люди при прочих равных предпочитают купить самокат.
- а)
( $6$ баллов) Найдите площадь города и налоговые сборы, если $t=9$.
- б)
( $6$ баллов) Найдите равновесную ставку налога $t$ и площадь города Апсквы, если государство максимизирует налоговые сборы.
- в)
( $8$ баллов) Налог отменили, и монополист может увеличивать город. Артемий решает заняться информационными уловками и сообщает всем гражданам, что самокаты ускорят их путь вдвое, поэтому потери от обратной дороги будут в два раза меньше (составят $s/4$ ). Решая, идти в магазин или нет, люди руководствуются идеей о том, что они купят самокат (думают, что цена за самокат будет $0$ ), но монополист научился ставить цены после того, как люди придут к нему, то есть каждый человек будет решать покупать самокат или нет уже в магазине, пройдя расстояние туда. Найдите какая площадь людей купит самокаты и какая максимальная прибыль будет у монополиста.