Многогранник из стального шара

Вася хочет изготовить правильный многогранник из стали и покрыть его сплавом драгоценных металлов. Один кубический сантиметр стали стоит $1$ рубль. Покрытие одним квадратным сантиметром сплава также обойдётся в $1$ рубль. Технология производства следующая: отливается шар из стали, срезается лишний металл, на заготовку наносится тончайший слой сплава драгоценных металлов. Остатки стали, которые срезали с многогранника, приходится выбрасывать.

Удовлетворённость Васи многогранником зависит от того, насколько он сложный (сколько у него граней $N$ ) и насколько блестящий, что описывается следующей функцией:

$U = \sqrt{N} \times S - M$

где $M$ – затраты Васи на производство, а $S$ – площадь поверхности.

Справка: правильный многогранник – это такой выпуклый многогранник, у которого все грани равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое количество рёбер.

• ( $15$ баллов) Если правильные многогранники, из которых может выбирать Вася, – это куб, тетраэдр (пирамида с треугольником в основании) и октаэдр (многогранник, гранями которого являются $8$ равносторонних треугольников), какой многогранник выберет Вася?
• ( $10$ баллов) Какой многогранник выберет Вася, если он умеет делать все возможные правильные многогранники?

Справка:

Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Формулы радиуса сферы, вписанной в:

Додекаэдр – $r = \frac{a}{4} \sqrt{10 + \frac{22}{\sqrt{5}}}$

Икосаэдр − $r = \frac{a \sqrt{3}}{12} \left(3 + \sqrt{5} \right)$

Формулы радиуса сферы, описанной около:

Додекаэдра −$R = \frac{a \sqrt{3}}{4} \left(1 + \sqrt{5} \right)$

Икосаэдра −$R = \frac{a}{4} \sqrt{(10 + 2 \sqrt{5})}$