Полезность платоновых тел
Вася хочет изготовить правильный многогранник из стали и покрыть его сплавом драгоценных металлов. Один кубический сантиметр стали стоит 1 рубль. Покрытие одним квадратным сантиметром сплава также обойдётся в 1 рубль. Технология производства следующая: отливается шар из стали, срезается лишний металл, на заготовку наносится тончайший слой сплава драгоценных металлов. Остатки стали, которые срезали с многогранника, приходится выбрасывать. Удовлетворённость Васи многогранником зависит от того, насколько он сложный (сколько у него граней N) и насколько блестящий, что описывается следующей функцией: $$U=\sqrt{N}\times S-M$$ где M – затраты Васи на производство, а S – площадь поверхности. Справка: правильный многогранник – это такой выпуклый многогранник, у которого все грани равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое количество рёбер.
- а)Если правильные многогранники, из которых может выбирать Вася, – это куб, тетраэдр (пирамида с треугольником в основании) и октаэдр (многогранник, гранями которого являются 8 равносторонних треугольников), какой многогранник выберет Вася?
- б)Какой многогранник выберет Вася, если он умеет делать все возможные правильные многогранники? Справка: Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией. Формулы радиуса сферы, вписанной в: $ \begin{array}{ll} \text{Додекаэдр } – & r=\dfrac{a}{4}\sqrt{10+\dfrac{22}{\sqrt{5}}}\\ \text{Икосаэдр } - & r=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}\Bigl(3+\sqrt{5}\Bigr)\end{array}$ Формулы радиуса сферы, описанной около: $\begin{array}{ll}\text{Додекаэдра } - & R=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\Bigl(1+\sqrt{5}\Bigr) \\ \text{Икосаэдра } - & R=\dfrac{a}{4}\sqrt{\left(10+2\sqrt{5}\right)}\end{array}$