Дуополия с менеджером

Фирмы А и B производят однородный товар и конкурируют, выбирая уровни выпуска. Если фирмы выберут уровни выпуска $q_A$ и $q_B$, на рынке установится цена $P = 12 - q_A - q_B$. Средние издержки каждой из фирм постоянны и равны 3. В любой из ситуаций ниже фирмы выбирают объемы выпуска одновременно, и выбранная пара выпусков фирм $(q_A, q_B)$ является равновесием, то есть выпуск $q_A$ оптимален для фирмы А при выпуске фирмы B, равном $q_B$, и наоборот. (Слова «оптимален для фирмы А» нужно понимать как «оптимален для того, кто выбирает выпуск в фирме А», см. ниже.) Владелец каждой из фирм максимизирует свою прибыль.

а) Найдите выпуски и прибыли фирм, если выпуск каждой фирмы выбирает ее владелец.

б) Допустим, владелец фирмы А нанял менеджера и заключил с ним договор, согласно которому менеджер должен выбирать выпуск фирмы А, а оплата менеджера составит некую малую фиксированную положительную долю выручки фирмы А. Менеджер максимизирует свою зарплату. Владелец фирмы B знает об условиях этого договора и по-прежнему сам выбирает выпуск своей фирмы. Найдите выпуски фирм. Покажите, что прибыль владельца фирмы А увеличится по сравнением с пунктом а). (Расходами на зарплату менеджера пренебречь, они малы.)

в) То, что прибыль фирмы А увеличилась, на первый взгляд, является парадоксом, ведь фирма А перешла от максимизации прибыли к максимизации величины, не равной прибыли. Приведите содержательное экономическое объяснение этого парадокса.

г) Допустим, что помимо малой доли выручки владелец фирмы А платит менеджеру также и малую долю прибыли фирмы, то есть менеджер получает величину $w = \alpha \cdot TR + \beta \cdot \pi$, где $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $TR$ — выручка фирмы А, $\pi$ — ее прибыль до вычета зарплаты менеджера. Владелец фирмы B знает об условиях этого договора и по-прежнему сам выбирает выпуск своей фирмы. Определите оптимальное для владельца фирмы А соотношение $\alpha / \beta$. (Расходами на зарплату менеджера пренебречь, они малы.)