Дезинфляция и заякоренные ожидания

Рассмотрим закрытую экономику, в которой изменение во времени двух макропеременных — разрыва выпуска $x_t$ и инфляции $\pi_t$ — задано двумя функциями:
$$ \begin{align*} x_t &= x_{t-1} - 0{,}5(i_t - \pi^e_t - 4) \tag{3.1} \\ \pi_t &= x_t + \pi^e_t \tag{3.2} \end{align*} $$

Уравнение (3.1) обычно называют «кривая IS», а уравнение (3.2) — форма записи кривой Филлипса. Здесь $i_t \geq 0$ — номинальная ставка, которую устанавливает центральный банк, $\pi^e_t$ — ожидаемая инфляция. Значения всех переменных измеряются в процентах. Начальные условия в период $t = 0$: $x_0 = 2$, $\pi_0 = 8$.

Задача Центрального банка — поддерживать инфляцию на целевом уровне $\pi^* = 4$, при этом он стремится предотвращать избыточные разрывы выпуска. Это означает, что оптимальной из всех комбинаций процентных ставок, которые ведут к возвращению инфляции на целевой уровень, является такая, при которой максимальный по модулю разрыв выпуска за два периода $t = 1, 2$ (то есть величина $\max(|x_1|, |x_2|)$) принимает минимальное значение.

а) Представим, что у экономических агентов адаптивные ожидания, то есть $\pi^e_t = \pi_{t-1}$. Найдите все комбинации ставок $i_1$ и $i_2$, которые обеспечат возвращение инфляции к цели в год $t = 2$. Объясните содержательно, почему $i_1$ и $i_2$ связаны именно так. Укажите оптимальную для ЦБ комбинацию $(i_1, i_2)$ и значения $(x_1, x_2)$ при ней. (5 баллов)

б) Представим, что ожидания экономических агентов частично «заякорены» на цель ЦБ по инфляции: $\pi^e_t = \frac{\pi_{t-1} + \pi^*}{2}$. Найдите все комбинации ставок $i_1$ и $i_2$, которые обеспечат возвращение инфляции к цели в год $t = 2$, и укажите оптимальную для ЦБ комбинацию $(i_1, i_2)$ и значения $(x_1, x_2)$ при ней. Сравните результаты с пунктом а) и содержательно объясните, как изменение механизма формирования инфляционных ожиданий повлияло на способность ЦБ обеспечить целевой уровень инфляции, минимизируя разрыв выпуска. (7 баллов)