«Альфа и Бета»

На текущий период только две компании Альфа и Бета имеют право на производство лицензионной продукции, спрос на которую представлен функцией $P(Q) = 40 - Q$. Функция издержек производства этого оборудования у компании Альфа имеет вид $C(\alpha) = 4\alpha$, а компании Бета — $C(\beta) = 2\beta$. Но технологический процесс в обеих компаниях устроен таким образом, что фирма Альфа может выпускать либо 13, либо 17 единиц продукции, а компания Бета — либо 5, либо 9 единиц. Исторически сложилось так, что конкуренция между фирмами устроена следующим образом: сначала компания Альфа публикует, какой объем товара она будет выпускать, и только потом фирма Бета принимает решение об объеме выпуска. Известно также, что Альфа никогда не нарушает взятых на себя обязательств и у конкурента нет сомнений, что так будет и в данном случае. Весь выпускаемый компаниями объем товара может быть продан на рынке по той цене, которую потребители готовы будут за него заплатить. Утилизация нереализованной продукции обходится обеим фирмам очень дорого и невыгодна компаниям. Обе компании осведомлены о возможных своих прибылях и прибылях конкурента во всех случаях, о том, что каждое из них максимизирует свою прибыль, и знают, что обо всем этом осведомлены и их конкуренты.

1. (а) (6 баллов) Сколько единиц продукции будет продано на рынке и по какой цене?
2. (б) (8 баллов) Компания Альфа готова предложить компании Бета сделку, согласно которой решение об объеме выпуска компании будут принимать совместно. В этом случае прибыль от рыночных продаж они будут делить между собой в определенной пропорции. Если компания Бета примет такое предложение, то на какую минимальную долю от совокупной прибыли она будет претендовать?
3. (в) (11 баллов) Пусть теперь компания Бета может перейти к технологическому процессу, позволяющему производить любое количество товара. Переход к нему потребует денежных затрат, но предельные издержки производства при этом не изменятся. Если компании принимают решение независимо, не согласовывая с конкурентом, как в пункте (а), то какую максимальную сумму $X$ будет готова заплатить компания Бета за переход к новому технологическому процессу? Будет ли фирме Альфа выгоден такой переход?