Уклонение от налогов

Введение в экономику и экономическое мышление Вмешательство государства Математический аппарат ★★★★☆

количественная развёрнутая задача на доказательство параметры табличка в условии есть разбалловка Школково – банк задач по экономике

Граждане некоторой страны А живут на отрезке $[0, 1]$. При этом в каждой точке отрезка проживает одинаковое и достаточно большое количество граждан. Все граждане, живущие в точке с координатой $x$, $x \in [0, 1]$, получают доход $x$ д.е. Например, если гражданин живет в точке 0{,}25, то он получает доход 0{,}25 д.е.

В стране А действует прогрессивная шкала налогобложения. С любого дохода ниже или равного $\bar{x} = 0{,}25$ д.е. гражданин должен заплатить 10% ($t_1 = 0{,}1$). Если доход выше этого уровня, то часть дохода $\bar{x} = 0{,}25$ д.е. облагается по ставке 10%, а с оставшейся части дохода необходимо заплатить 30% ($t_2 = 0{,}3$).

Граждане должны самостоятельно декларировать свой доход: декларируемый доход $r$ обязательно должно принадлежать интервалу $[0, 1]$, но может отличаться от истиного дохода гражданина, заявить другие варианты технически невозможно. При этом налоговая служба может проверить сообщение о доходе, и в случае обнаружения обмана со стороны конкретного гражданина взимать налог с его истинного дохода $x$ и штраф в размере $T$, $0{,}36 < T < 0{,}39$. Если же налоговая служба не обнаружила обман со стороны конкретного гражданина, то он платит подоходный налог с сообщённого им дохода $r$.

Если все граждане с доходом $x$ осообщят один и тот же уровень дохода $r$, то налоговая может обнаружить обман со стороны доли $|x - r| \cdot x$ из них. Соответственно, обман со стороны доли $1 - |x - r| \cdot x$ из них обнаружен не будет.

Зная то, как устроено взаимодействие с налоговой службой, жители каждой точки $x$ совместно принимают решение о таком сообщаемом доходе $r$, чтобы при его сообщении количество денег, которое суммарно останется на счетах граждан в точке $x$ после всех выплат налоговой службе, было максимальным.

Для удобства в данной задаче можно считать, что граждане и д.е. бесконечно делимы.

(а) [6 баллов] Докажите, что ни в одной точке интервала $x$ жители не могут получить выгоду от сообщения дохода больше истинного.

(б) [13 баллов] Власти подумали, что у граждан очень высокие стимулы сообщать неверный доход, поэтому решили упростить систему налогообложения, оставив только ставку 10% ($t_1 = 0{,}1$) для любого уровня дохода. Найдите оптимальный сообщаемый гражданами доход $r$ в зависимости от фактического дохода $x$ и штрафа $T$. Проинтерпретируйте полученный результат.

(в) [6 баллов] Определите, как изменится зависимость сообщаемого дохода от истинного дохода и штрафа, $r(x, T)$, при небольшом увеличении штрафа $T$ (таком, что ограничение $0{,}36 < T < 0{,}39$ по-прежнему выполняется). Опишите, какие эффекты влияют на сумму платежей, поступающих налоговой службе. Достаточно указать два различных эффекта. (Если вы приведёте более двух эффектов, то оцениваться будут только первые два.)