Завышение налоговой декларации

Граждане некоторой страны $A$ живут на отрезке $[0, 1]$. При этом в каждой точке отрезка проживает одинаковое и достаточно большое количество граждан. Все граждане, живущие в точке с координатой $x$, $x\in [0,1]$, получают доход $x$ д.е. Например, если гражданин живет в точке $0,25$, то он получает доход $0,25$ д.е.

В стране $A$ действует прогрессивная шкала налогообложения. С любого дохода ниже или равного $\bar x=0,25$ д.е. гражданин должен заплатить $10\%( t_1=0,1)$. Если доход выше этого уровня, то часть дохода $\bar x=0,25$ д.е. облагается по ставке $10\%$, а с оставшейся части дохода необходимо заплатить $30\%(t_2=0,3)$.

Граждане должны самостоятельно декларировать свой доход: декларируемый доход $r$ обязательно должно принадлежать интервалу $[0,1]$, но может отличаться от истинного дохода гражданина, заявить другие варианты технически невозможно. При этом налоговая служба может проверить сообщение о доходе, и в случае обнаружения обмана со стороны конкретного гражданина взимать налог с его истинного дохода $x$ и штраф в размере $T$, $0,36<T<0,39$. Если же налоговая служба не обнаружила обман со стороны конкретного гражданина, то он платит подоходный налог с сообщённого им дохода $r$. Если все граждане с доходом $x$ сообщат один и тот же уровень дохода $r$, то налоговая может обнаружить обман со стороны доли $|x-r|*x$ из них. Соответственно, обман со стороны доли $1-|x-r|*x$ из них обнаружен не будет.

Зная то, как устроено взаимодействие с налоговой службой, жители каждой точки $x$ совместно принимают решение о таком сообщаемом доходе $r$, чтобы при его сообщении количество денег, которое суммарно останется на счетах граждан в точке $x$ после всех выплат налоговой службе, было максимальным.

Для удобства в данной задаче можно считать, что граждане и д.е. бесконечно делимы.

$\text{а})$ ( $6$ баллов) Докажите, что ни в одной точке интервала $x$ жители не могут получить выгоду от сообщения дохода больше истинного.