Голосование о ставке налога

В одном государстве живут только три гражданина, получающие доход:

$I_1 = 1, I_2=3, I_3=8$

В данной стране есть перераспределительное налогообложение, которое работает следующим образом:

1. С каждого индивида собирается налог в размере доли от его дохода $t \in [0,1]$.

2. Каждому индивиду выплачивается одинаковый трансферт $T = \frac{(I_1 + I_2 + I_3)(t - c(t))}{3}$, где $c(t) = t^2$ — транзакционные издержки налогобложения.

Граждане знают распределительный механизм и доходы друг друга.

Вопросы:

(a) [5 баллов] Допустим, ставка налога устанавливается государством, которое хочет максимизировать суммарный доход всех граждан. Найдите оптимальную ставку налога $t$. Проинтерпретируйте полученный результат.

(b) [13 баллов] Теперь каждый гражданин вписывает в бюллетень желаемую ставку налога от 0 до 1 (включая 0 и 1). Граждане делают свой выбор одновременно и независимо, то есть они не могут договориться. В результате голосования устанавливается средняя ставка:

$\bar{t} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3},$

где $t_1, t_2, t_3$ — выбранные гражданами ставки налога. Каждый гражданин хотел бы иметь как можно больший доход с учетом трансферта. Какой налог будет установлен в результате такого голосования? Какими будут доходы граждан после перераспределения?

(в) [7 баллов] Постройте кривые Лоренца для пунктов (а) и (б), используя доходы после перераспределения. В каком из этих двух случаев неравенство доходов выше? Приведите объяснение полученного результата.