Кривая Лоренца по расстояниям

Вы, вероятно, знаете, что $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \times tg \beta}$. Ой, чего это я! Это же подборка по экономике!

Итак, предположим, что Неленивый Экономист построил кривую Лоренца государства Джиния и посчитал коэффициент Джини. Вечерело, и поэтому Неленивый Экономист, будучи не ленивым, а совсем наоборот, решил узнать, каким образом меняется расстояние от линии абсолютного равенства (далее ЛАР) до кривой Лоренца (далее ЛОР) в зависимости от рассматриваемой точки на ЛАР.

Экономист действовал следующим образом: для начала он брал какую-то точку $\bar{A}$ на ЛАР и отмерял длину отрезка, соединяющего выбранную точку и начало координат $O$. Далее он делил полученное значение на длину всей ЛАР, получая, тем самым, долю $x$, которую отмеченный отрезок $O\bar{A}$ занимает во всей ЛАР. После он строил перпендикулярную линию $\bar{P}(x)$ к ЛАР в точке $\bar{A}$. Понятно, что линия $\bar{P}(x)$ пересекает и ЛАР (в точке $\bar{A}$), и ЛОР(допустим, в точке $\bar{B}$). Наконец, само расстояние от ЛАР до ЛОР он считал как длину полученного отрезка $\bar{A} \bar{B}$.

Проделав так с каждой точкой на ЛАР, т.е со всеми $x \in [0;1]$ Неленивый экономист получил следующую зависимость расстояния от выбираемой точки:

$$
r(x) =
\begin{cases}
\frac{5 \times \sqrt{2}}{7} \times x &x \in [0;0.35] \\
0.32 \times \sqrt{2} - 0.2 \times \sqrt{2} \times x &x \in [0.35;0.6] \\
0.5 \times \sqrt{2} - 0.5 \times \sqrt{2} \times x &x \in [0.6;1]
\end{cases}
$$

В тот момент, когда Неленивый Экономист закончил вывод представленной зависимости, он заметил удивительную закономерность, вскрикнул: 'Эврика!', взмахнул рукой и случайно разбросал все свои записи, в том числе и исходные выкладки, да так, что они затерялись в груде мукулатуры. Помогите экономисту восстановить начальные данные!