Пирог Саши и Маши
Саша и Маша пекут пирог. Размер получившегося пирога $ \pi $ зависит как от усилий Саши, так и от усилий Маши: $ \pi =e_C +e_M $ , где $ e_C$ и $ e_M $ – усилия Саши и Маши соответственно. Готовый пирог затем разрезается на две части размером $ \pi_C $ и $ \pi_M $ , достающиеся, соответственно, Саше и Маше ($\pi_C +\pi_M =\pi $ ). Итоговое удовольствие каждого зависит как от размера полученной части пирога, так и от затраченных усилий:$$U_C =\pi_C -\frac{e_C^2 }{4}, U_M =\pi_M -\frac{e_M^2}{8}$$
- а)Допустим, мама установила такие правила: каждый из ребят независимо друг от друга выбирает уровень усилий, а затем получившийся пирог делится между ними ровно пополам. Какие уровни усилий они выберут, максимизируя каждый свое удовольствие? Каков будет общий размер пирога?
- б)Может ли мама увеличить удовольствие каждого из ребят по сравнению с первоначальной ситуацией, принудительно устанавливая уровни усилий и затем собственноручно деля пирог в некоторой пропорции?
- в)Известно, что удовольствие мамы растёт, если увеличивается удовольствие одного из детей, и при этом не уменьшается удовольствие другого. Достаточно ли этой информации, чтобы определить, какие уровни усилий установит мама, максимизируя собственное удовольствие?
- г)Как-то раз мама задержалась на работе, и за главного остался папа. Он весь вечер смотрит футбол и поэтому не может наблюдать уровни усилий ребят; а раз так, то устанавливать их тоже бесполезно. Зато он может заранее объявить, в какой пропорции он будет делить между ребятами готовый пирог. Как и в пункте «а», предполагаем, что ребята выбирают уровни усилий независимо друг от друга. Верно ли, что Саше будет в итоге тем лучше, чем больше предписанная ему доля? Верно ли, что, какова бы ни была первоначальная пропорция дележа, папа, переустанавливая ее, сделал бы одному из ребят хуже?