Букмекеры и рынок предсказаний
Завтра состоится матч «Динамо» — «Спартак». Возможны ровно три исхода: победа «Динамо», ничья, победа «Спартака».
Букмекерская контора объявляет по каждому исходу коэффициент. Ставка размером $x$ руб. по коэффициенту $k$ приносит игроку $kx$ руб., если этот исход наступил, и ноль, если не наступил. Ставку можно только сделать; продать её или встать в противоположную позицию против конторы нельзя. Ставки принимаются в любом размере. Расчёт происходит сразу после матча, поэтому процентами за такой срок можно пренебречь.
Первая контора выставила коэффициенты 2,0 на победу «Динамо», 2,5 на ничью и 5,0 на победу «Спартака».
- а)
Докажите, что, распределяя деньги между тремя исходами в первой конторе, нельзя обеспечить себе прибыль при любом исходе матча. Какую наибольшую сумму можно гарантировать себе после матча, поставив в сумме 1100 руб.?
- б)
Вторая контора выставила на те же исходы коэффициенты 1,6, 4,0 и 6,0. Проверьте, что внутри второй конторы гарантированной прибыли тоже нет. После этого постройте набор ставок в двух конторах общим размером 1100 руб., который приносит одну и ту же сумму при любом исходе. Чему равна прибыль?
На рынке предсказаний Polymarket устройство другое. Там нет коэффициентов, а торгуются контракты на исходы: контракт на исход выплачивает владельцу 100 руб., если исход наступил, и ноль, если не наступил. Цену контракта назначают не организаторы, а сами участники торгов. Контракт можно и купить, и продать, в том числе не имея его в наличии: продавец получает деньги сегодня и обязан выплатить 100 руб., если исход наступит.
Рассмотрим чемпионат, победитель которого определится ровно через год. Претендентов трое, других исходов нет. Контракты на победу каждого из них стоят сейчас 45, 25 и 15 руб. соответственно. Безрисковая доходность равна 25% годовых, занимать и вкладывать деньги можно в любом размере под эту ставку.
- в)
Постройте набор сделок, который сегодня приносит положительную сумму денег, а через год не требует от вас никаких доплат ни при одном исходе чемпионата. Чему равна эта сумма?
- г)
Через некоторое время цены контрактов стали 40, 20 и 20 руб. Букмекерская контора хочет принимать ставки на победителя того же чемпионата с расчётом через год и не собирается зарабатывать на них сверх безрисковой доходности. Какие коэффициенты она должна выставить? Найдите сумму величин, обратных этим коэффициентам, и объясните, почему она не равна единице.
- д)
(*) Та же контора решила принимать ставки ещё и на то, что первый претендент не станет чемпионом. Соберите набор контрактов, выплата которого через год совпадает с выплатой по такой ставке, и найдите справедливый коэффициент.
- е)
(*) По ценам 40, 20 и 20 руб. постройте три числа, которые в сумме дают единицу и которые естественно сопоставить трём исходам чемпионата.
- ж)
(*) Можно ли считать полученные три числа вероятностями исходов? Объясните, что ещё, кроме представлений участников торгов о шансах команд, влияет на цены контрактов.