Равенство через налоги

В правительстве заметили, что для каждого гражданина страны выполняется такая закономерность: средний доход тех, кто богаче данного гражданина, превышает средний доход тех, кто его беднее, на величину $ay$, где $y$ – средний душевой доход, $a$ – некоторая положительная константа.

(a) Докажите, что коэффициент Джини в этой стране не превышает $1/3$.

(b) Докажите, что в условиях совершенной информации правительство может добиться полного равенства доходов, перераспределив между гражданами страны не более $1/4$ национального дохода посредством налогов и трансфертов.

Математическая справка:

• Неопределённый интеграл от степени: $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$.

• Формула Ньютона-Лейбница: если $F'(x) = f(x), \, \text{то} \, \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$.