Предприниматели и работники

В экономике с общей численностью населения $L$ некоторые индивиды владеют фирмами и извлекают доход в виде прибыли. Остальные индивиды являются наемными работниками в этих фирмах и получают фиксированную заработную плату $w=1$. Труд является единственным фактором производства.

Производственная функция некоторой фирмы $j$ задается как:

$q_j(l_j) = \varphi_j l_j$,

где $l_j$ – количество работников, занятых в фирме $j$, а $\varphi_j$ – средняя производительность фирмы $j$.

Спрос на продукцию фирмы $j$ выглядит следующим образом:

$X_j(p_j) = \frac{Y}{p_j^2}$,

где $p_j$ – цена, устанавливаемая фирмой $j$ на свою продукцию, а $Y$ – совокупные доходы индивидов в экономике.

1. Пусть каждая фирма устанавливает цену на свою продукцию, максимизирующую прибыль фирмы. Найдите, как цена $p_j$ и количество нанятых работников $l_j$ зависят от средней производительности фирмы $\varphi_j$ в равновесии. Какую долю совокупного дохода составляет доход владельца фирмы $j$ ?

2. Пусть все фирмы обладают одинаковой средней производительностью $\varphi_j=1$. Найдите общее количество фирм и работников в экономике, если известно, что совокупный доход составляет $Y=100$.