Оптимизация госзаказа по добычи нефти :)
Экономист Лидия ответственна за реализацию гос. заказов, связанных с выкачкой нефти. Её задача — добыть необходимое количество нефти при минимальных затратах.
Игра устроена следующим образом:
-
государство решает, сколько $\hat{Q}$ нефти требуется.
-
Лидия решает, сколько скважин сверлить и сколько $q$ нефти добывать на каждой из них. Скажем, что полезность Лидии равна $(-\infty)$, если добыто суммарно меньше, чем $\hat Q$ и $-TC$, если добыто хотя бы $\hat Q$. Известно, что для открытия первой скважины, квази-постоянные издержки (это такие $FC$, которые$=0$, если $q=0$ и , $\neq 0$ если $q\neq 0$. Интуитивно, можно думать как про издержки на открытие чего-либо: если хочется производить $0$, открывать не нужно и $FC=0$, а иначе нужно открывать и $FC\neq 0$ ) составят $0$. Следующее место под скважину искать сложнее, и поэтому квази-постоянные издержки составят $1$ на открытие второй скважины. Искать место для третей скважины еще сложнее, поэтому квази-постоянные издержки составят $2$, потом $3$, затем $4$, и т.д. Кроме этого, каждое последующее место хуже предыдущего, а поэтому $VC$ на каждой следующей скважине выше. Так,
на первой скважине, для добычи $X$ единиц нефти, $VC_1(X)=X^2$,
на второй скважине, $VC_2(X)=2X^2$,
на третей скважине, $VC_3(X)=4X^2$,
...
на скважине номер $i$, $VC_i(X)=2^{(i-1)}X^2$.
Скважин можно открывать любое число. Максимального $i$ не существует.
А. Лидия посчитала, что для данного $\hat Q$, оптимально открывать $K$ скважин. Сколько единиц нефти Лидия будет добывать на каждой из скважин? А чему будут равны суммарные издержки на добычу $\hat Q$ ?
Б. Найдите все значения $\hat Q$, при которых Лидии рационально открывать ровно две шахты.
В. Заметим, что каждую новую скважину все дороже и дороже открывать, а качество места все хуже и хуже. Найдите минимальное $\hat Q_*$ , такое что $\forall \hat{Q} \geq \hat Q_*$, оптимальное число скважин $K$ постоянно, то есть не меняется с ростом $\hat Q$, или докажите, что такого $\hat Q_*$ не существует.