Индекс Робин Гуда

Неравномерность распределения чего-либо (скажем, доходов) можно измерять по-разному. Наиболее известный способ – с помощью индекса Джини. Но существуют и другие способы количественной оценки неравенства в обществе. Например, индекс Робин Гуда, название которого говорит само за себя: это величина, показывающая, какая (минимально возможная) доля дохода должна быть перераспределена, чтобы достичь абсолютно равномерного распределения доходов. Этот показатель равен максимальному расстоянию по вертикали между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца$^1$.

(а) Чему будет равен индекс Робин Гуда, если кривая Лоренца имеет вид

$y=2-\sqrt{4-3x}$ ?

(б) Определите, что больше – индекс Робин Гуда или индекс Джини – для кривой Лоренца

$y = \frac{x^{10} + x^{15} + x^{20}}{3}$

Учитывая, что кривая Лоренца не может быть выпуклой вверх, верно ли, что неравенство между индексом Робин Гуда и индексом Джини всегда будет выполнено в одну и ту же сторону?

(в) Верно ли, что если в стране $A$ неравенство доходов не сильнее, чем в стране $B$, согласно индексу Робин Гуда, то и согласно индексу Джини неравенство доходов в стране $A$ также будет не сильнее, чем в $B$ ?

$^1$ Кривая Лоренца отвечает на вопрос, какую долю $y\in[0;1]$ от суммарного дохода всего общества получает вместе взятая доля $x\in[0;1]$ беднейшего населения.