Остров и коэффициент Джини

Население некоторого острова составляет ровно $n$ человек. Самый бедный получает $0,01\%$ всего дохода страны. Доход следующего жителя выше дохода предыдущего ровно на $0,02$ процентных пункта. Найдите коэффициент Джини в данной стране.

Правитель данного острова, который, безусловно, является самым богатым жителем, убежден, что высокое неравенство вредит экономике острова в долгосрочном периоде. Однако в текущий момент времени, как вы уже, наверное, посчитали, ему принадлежит лишь малая часть доходов.

Правитель раздумывает законным способом отнять часть доходов у своего населения. Если это произойдет, и правитель попытается нарушить сложившееся распределение доходов, возмущенное несправедливостью население немедленно объединится в одну партию. После присвоения правителем части доходов населения объединенная партия разделит оставшиеся доходы поровну между $n-1$ членом партии.

Функцию полезности правителя можно охарактеризовать следующим уравнением:

$U(G; a) = 10(a + 1) - 1000G^2,$

где $G$ — коэффициент Джини на острове, выраженный в долях; $a$ – доля доходов правителя в общем доходе острова, выраженная в процентах ($5\%$, а не $0,05$, например).

Определите долю доходов правителя, которая максимизирует его уровень полезности. Захочет ли правитель ограбить население и присвоить часть его дохода? Если да, то какую долю дохода он присвоит?

Примечание:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$