Когда брать ипотеку?

Иван Дальновидный имеет следующую личную финансовую цель. Через 40 лет (480 месяцев) от текущего момента, когда он выйдет на пенсию:

• у него должна быть своя квартира;
• ипотечный кредит за нее должен быть полностью погашен;
• величина чистых активов (стоимость квартиры плюс накопления на депозите) должна быть максимально возможной при этих условиях.

Иван живет в стране с очень стабильной экономикой: инфляция в ней всегда равна $100r\%$ в месяц (на эту величину ежемесячно растут все цены в экономике, в том числе цены квартир в продаже и стоимость аренды жилья), доходность всех депозитов также составляет $100r\%$ в месяц (начисляется на остаток ежемесячно), на столько же процентов будет расти и ежемесячный доход Ивана за вычетом необходимых расходов на все товары и услуги, кроме жилья. В начальный момент времени состояние Ивана описывается следующими значениями переменных:

• он живет в съемной квартире, арендная плата за которую равна $R_0 > 0$ (арендная плата выплачивается в конце каждого месяца);
• доход за месяц за вычетом необходимых расходов, кроме жилья, равен $Y_0 > R_0$;
• накопления на депозите отсутствуют: $S_0 = 0$;
• цена такой квартиры, какую хочет купить Иван, равна $P_0 > 0$.

Своей квартиры у Ивана нет, и без ипотеки (на собственные сбережения) он купить ее не сможет ни в один из моментов. Он может в любой момент прекратить арендовать квартиру и купить свою в ипотеку по ставке $100r_c\%$ в месяц ($r_c > r$, капитализация ежемесячно). Назовем этот момент $t^*$. Срок ипотеки составляет $N < 480$ месяцев. Чтобы взять ипотеку, он снимает все свои сбережения с депозита и использует их для уплаты первоначального взноса, а на оставшуюся часть стоимости квартиры берет кредит. Начиная с момента $t^* + 1$, он перестает платить за аренду и вместо нее выплачивает в моменты $t^* + 1, t^* + 2, \ldots, t^* + N$ не растущий с инфляцией ипотечный платеж $M$, рассчитанный по правилу аннуитета.

Независимо от того, платит Иван в конкретный месяц за аренду или за ипотеку, все оставшиеся средства он сразу после этой выплаты кладет на банковский депозит (кроме момента $t^*$, в который оставшиеся после уплаты аренды средства идут в счет первоначального взноса по ипотеке).