Идеальный индекс цен

Потребитель покупает два товара $X$ и $Y$, его предпочтения описываются функцией полезности $u(x,y)=x^{1/3}y^{2/3}$. В базисном периоде цены обоих товаров были равны 1. В текущем периоде цена товара $X$ стала равна 3, а цена товара $Y$ равна некоторому неизвестному числу $p>0$. Доходы потребителя в двух периодах неизвестны и могут различаться. В каждом периоде потребитель выбирает оптимальную для себя корзину.

Назовем идеальным индексом цен отношение минимальных расходов, необходимых для достижения некоторого фиксированного уровня полезности при текущих ценах, к минимальным расходам, необходимым для достижения того же уровня полезности при базисных ценах. Оказалось, что индекс Фишера в точности совпал с идеальным индексом цен.