Оптимальный НДПИ на нефть

В России действует налог на добычу полезных ископаемых (НДПИ). В случае нефти он взимается как потоварный налог за каждую добытую тонну нефти, при этом ставка налога $t$ зависит от мировой цены на нефть. В этой задаче мы рассмотрим модель, в рамках которой можно определить оптимальную ставку НДПИ в зависимости от мировой цены.

Предположим, что в некой стране внутренний спрос на нефть описывается уравнением $P = 90 - 3Q$, а внутреннее предложение — уравнением $P = 30 + Q$. Страна может экспортировать на мировой рынок любое количество нефти по цене $x \geqslant 0$, но импортировать нефть не может. Государство вводит НДПИ на нефть как потоварный налог по ставке $t \geqslant 0$. Налог взимается с каждой добытой единицы нефти независимо от того, где она продана. Государство максимизирует сумму налоговых сборов. Если государство безразлично между двумя ставками налога, оно выбирает наименьшую из них.

Пусть $t^*(x)$ — ставка налога, которую назначит государство в зависимости от $x$. Выведите функцию $t^*(x)$ для всех $x \geqslant 0$ и постройте ее график.