Король и кукуруза

Сельскохозяйственная отрасль страны U выращивала только пшеницу (W), пока однажды король не увидел, как за океаном выращивают кукурузу (C). Правителю так понравилась эта культура, что он решил, что теперь она будет выращиваться и в стране U.

Оказалось, что урожайность кукурузы, как и пшеницы, зависит от того, в какой части страны её выращивать — на севере страны или на юге. На одном гектаре северных полей можно вырастить 2 центнера пшеницы или 1 центнер кукурузы, а на одном гектаре южных полей — 1 центнер пшеницы или 2 центнера кукурузы. На каждом гектаре альтернативная стоимость центнера пшеницы в единицах кукурузы постоянна.

Издержки на возделывание $N$ гектаров северных полей (независимо от культуры) равны $TC(N) = N^{2}/2$ руб., а издержки возделывания $S$ гектаров южных полей равны $TC(S) = S^{2} + 20 \cdot S$ руб. Страна настолько большая, что $S$ и $N$ не ограничены и могут быть любыми неотрицательными числами.

Несмотря на энтузиазм правителя, население страны скептически отнеслось к кукурузе, и поэтому не потребляет её. Но кукурузу можно продавать на мировом рынке по цене $P_C = 40$ руб. за центнер. А вот к пшенице население привыкло, поэтому предъявляет на неё спрос $W = 120 - P_W$ (зато на международном рынке продать её нельзя). Площадь возделываемых полей и её распределение между пшеницей и кукурузой определяется королём, который максимизирует прибыль, получаемую страной от обеих культур.

а) Предположим, значения $S$ и $N$ определены. Как будет в зависимости от них выглядеть КПВ страны U в координатах $(W, C)$? Приведите графический вид (укажите координаты ключевых точек).

б) Какую максимальную прибыль может получить король, если оптимальным образом выберет $S$, $N$, $W$ и $C$?