Субсидия монополисту

Фирма-монополист производит товар «Штуки». Спрос на этот товар описывается уравнением $Q = 80 - P$. Средние издержки производства одной «Штуки» не зависят от выпуска и равны 20. Участник заключительного этапа олимпиады легко определит, что фирма выберет объём производства, равный 30, в то время как если бы рынок «Штук» был конкурентен, рыночный объём производства равнялся бы 60.

Как известно, в обычных условиях совершенно-конкурентный объём выпуска является ещё и оптимальным с точки зрения общества. Государство захотело добиться того, чтобы фирма увеличила свой выпуск до этого уровня, то есть с 30 до 60. Один из способов сделать это — предоставить фирме субсидию, которая зависит от выпуска. Пусть $S = f(Q)$, где $Q \geq 0$ — объём проданной продукции, $S \geq 0$ — общая сумма выплачиваемой фирме субсидии. Проблема, однако, в том, что разные схемы субсидирования повлекут за собой разные расходы государства.

Если фирма безразлична между несколькими объёмами выпуска, она выбирает наибольший из них.

а) Пусть $f(Q) = aQ$. Какое значение параметра $a$ нужно выбрать государству, чтобы фирма выбрала объём 60? Каковы будут расходы государства на субсидию?

б) Пусть $f(Q) = aQ^2$. Какое значение параметра $a$ нужно выбрать государству, чтобы фирма выбрала объём 60? Каковы будут расходы государства на субсидию?

в) Допустим, государство может выбрать в качестве схемы выплаты субсидии любую функцию $S = f(Q)$, определённую для всех $Q \in [0; 80]$ и принимающую только неотрицательные значения — например, $f(Q) = a\sqrt{Q} + bQ^3 + \frac{c}{Q+1}$, или
$$ f(Q) = \begin{cases} aQ^4, & Q < 10; \\ bQ^4, & Q \geq 10, \end{cases} $$
или любую другую (фантазия у государства безгранична). Как и прежде, функция должна быть такой, чтобы фирма продала 60 «Штук». Какую функцию нужно ввести государству, чтобы расходы на субсидию были минимальны? (Если таких функций несколько, приведите любую из них.) Чему равны эти минимальные расходы?