Счастливые острова

Введение в экономику и экономическое мышление Альтернативные издержки и КПВ ★★★★☆

качественная развёрнутая задача на доказательство есть разбалловка Школково – банк задач по экономике

Каждый из семи островов $A, B, C, D, E, F, G$ производит и потребляет все или некоторые из 2023 товаров. Будем обозначать через $d_{ij} \geq 0$ потребность острова $i$ в товаре $j$, а через $s_{ij} \geq 0$ объём производства островом $i$ товара $j$, где $i \in \{A, B, C, D, E, F, G\}$, $j \in \{1, \ldots, 2023\}$. Величины $d_{ij}$ и $s_{ij}$ предопределены и неизменны. Между островами возможен обмен, но денег в экономике нет. Будем называть остров $i$ счастливым, если для любого товара $j$ его потребление на острове $i$ не меньше, чем $d_{ij}$.

а) Предположим, что существует волшебник, который может свободно перераспределять произведённые товары между островами. Запишите условие на $d_{ij}$, $s_{ij}$, при котором волшебник может сделать так, чтобы каждый остров был счастливым. Докажите, что 1) если волшебник может каждый остров сделать счастливым, то это условие должно быть выполнено (ваше условие является необходимым), а также что 2) если ваше условие оказалось выполнено, то волшебник может сделать каждый остров счастливым (Ваше условие является достаточным).

б) Теперь предположим, что волшебника нет, но острова могут обмениваться друг с другом. Каждый остров в рамках любой сделки с другим островом готов отдать свои товары только в обмен на такое же суммарное количество товаров (например, 5 яблок и 2 груши он готов обменять на 3 банана и 4 апельсина, $5 + 2 = 3 + 4$).

Запишите условие на $d_{ij}$, $s_{ij}$, при котором острова смогут устроить торговлю (последовательность обменов) так, чтобы каждый остров был в итоге счастливым. Докажите, что это условие является необходимым и достаточным.

в) Наконец, предположим, что каждый остров $i$ в рамках любой сделки с другим островом готов отдать свои товары только в обмен на такое же суммарное количество товаров, в которых сам нуждается, то есть таких товаров $j$, что $d_{ij} > s_{ij}$. Является ли достаточным условие, которое вы получили в качестве ответа в пункте б), для того чтобы острова смогли устроить торговлю так, чтобы каждый остров в итоге был счастливым?