Пробки и автобусный перевозчик

10 000 человек каждое утро совершают поездки из пункта А в пункт Б, сообщение между
которыми возможно только по одной дороге. Каждый из тех, кто совершает ежедневные
поездки, имеет возможность использовать личный автомобиль (один человек использует один
автомобиль) или поехать автобусом. Пропускная способность единственной дороги ограничена:
если личный транспорт будут использовать не более 3 000 человек, то среднее время в
пути составит 20 минут. Каждая машина сверх этого количества замедляет движение, и среднее
время в пути ($T_{car}$) возрастает: $T_{car} = 20 + 0{,}01 \cdot (L_c - 3000)$, $L_c$ —
количество человек, которое использует личный транспорт.

Будем называть увеличение среднего времени в пути сверх 20 минут ($T_{car} - 20 > 0$)
«пробкой» на дороге.

Автобус движется по специально выделенной полосе, так что пробки на дорогах его движению
не мешают. Общее время в пути, включающее время посадки-высадки пассажиров и время
ожидания очередного автобуса, зависит от количества автобусов на маршруте ($X$) и от
количества людей, выбирающих поездку автобусом ($L_b$):
$$T_{bus} = 60 - 2 \cdot X + 0{,}01 \cdot L_b, \quad 1 \le X \le 70,\ L_b \ge 3550.$$

Выбор людей в пользу поездки на автобусе зависит от разницы времени в пути на автомобиле
и на автобусе, и от стоимости проезда на автобусе ($P$):
$$L_b = 7000 + 50 \cdot (T_{car} - T_{bus}) - 50 \cdot P.$$

Лицензию на выполнение пассажирских перевозок имеет только одна фирма, издержки которой
зависят от количества автобусов на маршруте: $TC(X) = 25 \cdot X^2$.

1. Власти установили цену за проезд в автобусе 30 рублей с одного пассажира из пункта А
   в пункт Б. Какова будет максимальная прибыль фирмы-перевозчика? Определите, будут ли
   пробки на дорогах, и если да, то сколько времени в них потеряют автомобилисты?

2. Чтобы бороться с пробками, власти решили стимулировать население пользоваться
   автобусами. Было принято решение, что проезд на автобусе становится бесплатным, а
   перевозчику выплачивается фиксированная субсидия в размере потерянного дохода при условии,
   что он не сокращает количество автобусов на маршруте. Сколько людей теперь будет
   пользоваться автобусом? Позволит ли это решение полностью избавиться от пробок? Ответ
   обоснуйте расчётами.

3. Для полной ликвидации пробок предлагается не только сделать проезд на автобусе
   бесплатным, но и ввести субсидию перевозчику за каждый автобус на маршруте. Какая величина
   субсидии позволит достичь поставленной цели? Как изменится прибыль перевозчика?

4. Опираясь на полученные ответы предыдущих заданий, сформулируйте вывод: что имеет
   решающее значение для ликвидации дорожных пробок.