«Устойчивый экономический рост»

Рассмотрим экономику, ВВП которой зависит от двух факторов производства — капитала и труда:
$$ Y_t = \sqrt{K_t L_t}, $$
где $Y_t$ — уровень выпуска (ВВП), $K_t$ — количество капитала, a $L_t$ — количество труда в периоде $t$. Известно, что в течение каждого периода 10% имеющегося капитала «изнашивается» и потому не подлежит использованию в дальнейшем производстве. Однако объем капитала можно увеличить с помощью инвестиций. Таким образом, в любой период времени объем капитала в стране определяется исключительно двумя показателями: тем, сколько капитала осталось после предыдущего периода, и тем, сколько в предыдущем периоде было совершено инвестиций. Иначе говоря:
$$ K_t = 0{,}9K_{t-1} + I_{t-1}, $$
где $K_t$ — объем капитала в текущем периоде, $K_{t-1}$ — объем капитала в предыдущем периоде, а $I_{t-1}$ — инвестиции предыдущего периода.

Изначально в экономике есть некоторое положительное количество капитала. Население предпочитает сберегать 45% от суммарного дохода и направлять оставшиеся средства на текущее потребление. Все сбережения, сделанные в период $t$, полностью и моментально трансформируются в инвестиции.

Назовём уровнем капиталовооружённости отношение капитала к труду, то есть величину $k_t = K_t/L_t$. Назовём устойчивым состоянием такую ситуацию, в которой уровень капиталовооружённости не меняется от периода к периоду.

1. Пусть численность рабочей силы в данной стране постоянна ($L_t = L = \mathrm{const}$), а предложение труда абсолютно неэластично. Выведите зависимость $k_t$ от $k_{t-1}$ и графически покажите, что со временем экономика стабилизируется возле некоторого значения $k^*$. (9 баллов)
2. Найдите уровень капиталовооружённости $k^*$, обозначенный в Пункте 1. Чему в устойчивом состоянии будут равны темп роста ВВП и темп роста потребления на душу населения? (6 баллов)
3. Пусть предложение труда по-прежнему абсолютно неэластично, но число работников увеличивается на 20% с каждым периодом, иными словами, $L_t = 1{,}2L_{t-1}$. Ответьте на вопросы Пункта 2 при новом допущении и аргументировано поясните, как полученные результаты отличаются от случая, где рост населения отсутствует. (10 баллов)