Издержки при технологии Леонтьева

Фирма производит товары, используя технологию с жестко фиксированными пропорциями факторов производства (функция Леонтьева). Производственная функция имеет вид:

$$ Q = \min \left( \frac{L}{2}, \frac{K}{4} \right) $$

Цены факторов:

– Заработная плата ($ w $) = 6 ден. ед. за единицу труда.

– Арендная ставка капитала ($ r $) = 3 ден. ед. за единицу капитала.

Требуется:

1. Найти условие оптимального сочетания факторов $ L $ и $ K $ при заданном объеме выпуска $ Q $ в долгосрочном периоде.

2. Вывести функцию общих затрат в долгосрочном периоде ($TC_{LR}$).

3. Определить функцию затрат в краткосрочном периоде, если капитал фиксирован на уровне $ K = 12 $.