Задача: Теория потребителя и полезность
Некоторая Мария работает на двух работах: делает подборки ($x$) и читает лекции ($y$), имея на работу не больше, чем 24 часа в сутки, как бы нам ни хотелось увеличить это число. Лекции лимитированы по времени, так что на то, чтобы прочитать одну лекцию, Марии стабильно требуется 2 часа, а вот для составления подборки ей нужно уже $p$ часов. Для каждой из описанных ниже ситуаций найдите зависимость оптимальных $x$ и $y$ от $p$. Помните, что в этой задаче все величины бесконечно делимы.
- а)$U = \min\{x; y\}$
- б)$U = \max\{x^2; y\}$
- в)$U = xy$, но после 4 сделанных подборок Мария улучшает свои навыки и затраты времени на приготовление новых подборок падают вдвое.
- г)Мария стала профессионалом, так что теперь может делать подборки и лекции двух видов — базовые и продвинутые. С учетом договоренностей Марии с работодателями ее полезность имеет вид $U = \sqrt{x_1\cdot y_1} + \min\{x_2; y_2\}$. Налаживание баланса работы и отдыха привело к тому, что затраты времени тоже стали постоянными: теперь $P^x_1 = 1$, $P^x_2 = 2$, $P^y_1 = 1$, $P^y_2 = 1$. Найдите $x_1^*$, $x_2^*$, $y_1^*$, $y_2^*$.