Выбираем пропорцию для салата

Поселившись в стране Вега, Юный Экономист стал питаться исключительно салатом из помидоров и огурцов. Пропорция, при которой салат имеет приемлемый для Юного Экономиста вкус, не является жестко заданной. А именно, он готов есть салат, если в нем на $1$ огурец приходится от $1/4$ до $4$ помидоров. Полезность порции салата, полученной из $1$ огурца и $k\in[1/4;4]$ помидоров, равна для него $\sqrt k$.

Юный Экономист располагает бюджетом в размере $1000$ д.е. в неделю. Один огурец стоит $20$ д.е., а помидор — вдвое дешевле. Полезность Юного Экономиста равна суммарной полезности от всех съеденных за неделю порций салата. Овощи в стране Вега бесконечно делимые.

1. Допустим, Юный Экономист решил готовить все порции салата в единой пропорции $k$ помидоров на $1$ огурец. Какое значение $k$ он выберет, максимизируя свою полезность?

2. Может ли полезность Юного Экономиста увеличиться по сравнению с пунктом 1), если он будет готовить одну часть порций салата в пропорции $k_1$, а другую часть — в пропорции $k_2$ ?