О целочисленности решения
В олимпиадных задачах часто предполагается, что определенные величины, которые по своей природе могут принимать только целые значения, могут выражаться не только целыми числами. Это делается для упрощения решения. В практических задачах, однако, игнорировать целочисленность зачастую нельзя, так как решение в целых числах может существенно отличаться от решения в действительных числах. Рассмотрим это на следующем примере.
Товар X может выпускаться на станках двух типов. Один станок типа A может произвести максимум 100 ед. товара в день, и его аренда стоит 100 денежных единиц в день. Один станок типа B может произвести максимум 80 ед. в товара в день, и его аренда стоит 90 денежных единиц в день. Выпуск фирмы – не обязательно целое число.
- а)
Допустим, количество станков не обязательно целое. Сколько станков каждого типа следует арендовать фирме, чтобы произвести Q ед. продукции в день и расходы на аренду были минимальны? Ответьте на вопрос для каждого Q>0.
- б)
Теперь допустим, что количество станков может быть только целым. Сколько станков каждого типа следует арендовать фирме, чтобы произвести Q ед. продукции в день и расходы на аренду были минимальны при Q=170? Q=240?
- в)
Верно ли, что если в пункте а) оптимальным решением для фирмы является аренда a станков типа A, и a нецелое, то при учете целочисленности обоих типов станков оптимальным решением будет аренда a* станков типа A, где a* — одно из двух целых чисел, ближайших к a?