Монополия с бесплатной долей выпуска

В одном маленьком городке существует монополист на рынке канцелярских товаров. Он может дискриминировать покупателей по $1$ типу, так как знает сколько готов заплатить за товар каждый покупатель. Про спрос известно, что обратная функция спроса имеет следующий вид:

$P=100(1+a)-(1+a)Q$, где $a$ равновероятно принадлежит от $0$ до $1$. Также известно, что монополист может сделать из воздуха долю $(1-a)$ от всей произведенной продукции. Если товар сделан из воздуха, то считается, что монополист не несет никаких издержек на его производство. Издержки монополиста выражаются функцией $TC=c(Q_n)^2$, где $Q_n$ – это количество, произведенное монополистом не из воздуха. В оптимуме монополист продает $50$ единиц канцелярских товаров. Найдите $c$.