Большой Кокосовый Храм - продолжение

$1$**. Слава супер-демократии!**

Вдохновленный выводом задачи [Большой Кокосовый Храм](http://iloveeconomics.ru/z/1872), Мудрый Вождь решил написать книгу о том, что Супер-Демократия – лучшая форма правления. Благо, времени у него теперь предостаточно, ведь люди на острове абсолютно счастливы. Цель книги: помочь другим, менее мудрым вождям, примирить любые, даже самые гордые деревни.

Вождь знает, что краткость — сестра таланта, поэтому его книга состоит всего из двух коротких глав.

Полный текст первой главы:

Общее счастье объединенного острова не ниже, чем разделенного, при любых предпочтениях вида $u_a(x_a,G)=x_a+F_a(G)$ и $u_b(x_b, G)=x_b+F_b(G)$*, где* $F_a(G)$ и $F_b(G)$ - совершенно любые функции.

Во второй главе Вождь делает вывод о том, какой из двух типов супер-референдумов (про $X$ или $Y$ ) позволит примирить совершенно любые деревни.

Напишите вторую главу книги (с доказательством), пользуясь утверждением первой главы. Помните, что краткость — сестра таланта.

$2$**. Тяжела доля писателя**

Вождь очень мудр и глубоко верит в утверждение первой главы. Однако слава о мудрости вождя достигла еще не всех островов, и более того, на некоторых островах живут непокорные математики, которые не верят в утверждения без доказательств.

Приведите доказательство первой главы книги либо придумайте контрпример.

$3$**. Вы спасены, если вера ваша сильна**

Прочитав Ваше решение предыдущего пункта, Мудрый Вождь грязно выругался, но спорить не стал: ведь он не знал математики. Вместо этого он достал из старого сундука потрепанную книгу, название которой давно стерлось, но имя автора он вспоминал с содроганием еще со студенческих лет – Фихтенгольц, – и удалился в свою хижину на долгих три года. Вышел он заметно просветленным и сразу отправился в Храм – писать новую книгу.

В храм он пошел не случайно, ведь главный тезис книги гласил:

Если вера всех людей на острове сильна, никакой математик не сможет опровергнуть первое утверждение старой книги (измененное с учетом этого условия)

А в сноске значилось:

Определение: вера людей сильна, если обе функции $F_a(G)$ и $F_b(G)$ неубывающие

На этот раз Вождь снабдил утверждение доказательством, да таким, что и сам Фихтенгольц был бы доволен.

Предложите вариант доказательства, достойный новой книги

$4$**. Смерть неверным**

Один из учеников Мудрого Вождя, восхищенный новой книгой, написал статью, в которой он призывал выгнать с острова всех неверных:

Все те, чья вера пошатнулась (то есть чья функция $F(G)$ убывает хотя бы на каком-нибудь промежутке), должны покинуть остров!

В доказательстве он использовал новую книгу вождя, а именно, он придумал к ней следствие:

Если хотя бы одна из функций $F_a(G)$ и $F_b(G)$ убывает хотя бы на каком-то промежутке, то благосостояние объединенного острова будет ниже, чем разделенного.

Увидев статью, Вождь... заставил ученика трижды прочитать книгу, автора которой все так боялись.

Прав ли Вождь?