Равновесный состав олимпиады

В некоторой олимпиаде участвуют $200$ школьников, каждый из которых принадлежит одному из двух типов: к старательным школьникам $(A)$ или к ленивым школьникам $(B)$. Каждый из школьников получает полезность от того, сколько и каких школьников участвуют в олимпиаде.

Каждый старательный школьник $(A)$ получает $2$ единицы полезности за каждого участвующего в олимпиаде старательного школьника $(A)$ кроме себя, так как это мотивирует его ещё больше учиться, и ценность победы для него возрастает, и $1$ единицу полезности за каждого ленивого школьника $(B)$, ведь каждый школьник, который не ленится, увеличивает его шансы на победу в олимпиаде.

Каждый ленивый школьник $(B)$ получает $2$ единицы полезности за каждого ленивого школьника $(B)$ кроме себя, так как каждый ленивый школьник увеличивает его шансы на победу, и теряет $1$ единицу полезности за каждого старательного школьника $(A)$, ведь старательный школьник уменьшает его шансы на победу в олимпиаде и заставляет ленивого школьника жалеть о том, что он не старается. Так как без стараний у школьника остаётся больше сил, каждый ленивый школьник дополнительно получает $101$ единицу полезности.

После того как олимпиада прошла каждый из школьников размышляет над тем, не поменять ли ему стратегию. То есть старательный школьник $(A)$ думает, не стать ли ему ленивым школьником $(B)$ и наоборот. Для этого каждый из них сравнивает свою текущую полезность с полезностью в случае, если бы на этой олимпиаде он был бы другим типом школьника. Если старательный школьник становится ленивым, то его дополнительная полезность будет равна $81$ вместо $101$, так как он не будет знать, чем занять своё освободившееся время. Каждый школьник решает поменять свою стратегию только в том случае, если его полезность от смены стратегии при неизменных стратегиях других школьников будет строго больше.

Назовём состав участников олимпиады равновесным, если после олимпиады ни один из

школьников не хотел бы поменять свой тип.

$1.$ Пусть в олимпиаде участвуют $X$ старательных школьников. Найдите все возможные значения $X$, при которых состав участников олимпиады будет равновесным.