Контракт Старухи и Старика

количественная развёрнутая задача параметры есть разбалловка Школково – банк задач по экономике

Старуха посылает Старика к синему морю, чтобы он поймал ей золотую рыбку, которую она ценит в 12 монет. Рыбка нужна только Старухе, больше никому. Старуха обещает дать Старику зарплату в $w$ монет за поход к морю и ещё дополнительный бонус в $b$ монет, если он принесёт ей рыбку. Узнав эти условия (которые Старуха обязана исполнить!), Старик может выбрать одно из двух действий:

пойти к морю, взять у лодочника в аренду лодку и попытаться поймать рыбку — шансы на успех и неудачу при этом равны;
пойти к морю, посидеть на берегу и вернуться, сказав, что рыбку поймать не удалось.

Арендная плата за лодку составляет 5 монет и платится после получения всех выплат от Старухи. Но может получиться так, что этих выплат не хватит, — тогда Старик впоследствии, когда у него появятся монеты (предположим, что когда-нибудь это произойдёт), будет вынужден выплатить лодочнику сумму долга в двойном размере.

Старуха не может наблюдать, что делает Старик у моря. Она выбирает неотрицательные величины зарплаты $w$ и бонуса $b$ так, чтобы максимизировать свой усреднённый выигрыш $\Pi$, состоящий из ценности рыбки (в случае, если Старик её поймает) за вычетом всех выплат Старику. Например, если Старуха рассчитывает, что Старик попробует поймать рыбку, то её усреднённый выигрыш равен
$$\Pi = \frac{1}{2} \cdot (12 - w - b) + \frac{1}{2} \cdot (-w).$$

Старик, наблюдая $w$ и $b$, выбирает одно из своих двух действий так, чтобы максимизировать свои усреднённые выплаты за вычетом того, что он должен отдать лодочнику. Усреднение производится по тому же принципу, что и для Старухи. Предполагаем, что, если Старику безразлично, ловить рыбку или нет, то он ловит.

а) Найдите оптимальное действие Старика при заданных $w,\, b \geq 0$.

б) Предположим, что Старуха хочет, чтобы Старик ловил рыбку. С учётом ответа на предыдущий пункт найдите $w$ и $b$, оптимальные для неё в этом случае.

в) А действительно ли Старуха хочет, чтобы Старик ловил рыбку? Как устроен оптимальный контракт $(w, b)$ с учётом ответа на этот вопрос?

г) Предположим теперь, что Старуха может наблюдать, что делает Старик у моря, и может поставить бонус $b \geq 0$ в зависимость от этого: если Старик выходил в море на лодке и поймал рыбку, то $b = b_1$, а если выходил, но не поймал, то $b = b_0$. Теперь Старуха предлагает Старику контракт $(w, b_0, b_1)$. Какой контракт будет оптимальным для Старухи?